un cour de math (algebre de S2 complete)

Table des matières

1 Calcul matriciel 3

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice . . . . . . . . 7

1.3.2 Application pour déterminer l'inverse d'une matrice

carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Déterminants 10

2.1 Déterminant d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Déterminant d'ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Déterminant d'ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n . . . 15

2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) 16

3 Espaces Vectoriels 17

3.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . . . . . . . . 21

3.5 Existence de Bases ( en dimension nie ) . . . . . . . . . . . 23

3.6 Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension . . . . . . . 24

3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces Supplémentaires . . . . 27

4 Les Applications Linéaires 31

4.1 Applications Linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Image et Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Matrices Associées aux Applications Linéaires . . . . . . . . . 35

4.4 Matrice d'un Vecteur. Calcul de l'Image d'un Vecteur . . . . 38

4.5 Matrice de l'Inverse d'une Application . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Changement de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7 Rang d'une Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.8 Matrices Remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.9 Application des Déterminants à la Théorie du Rang . . . . . 45

4.9.1 Caractérisation des Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9.2 Comment reconnaître si une famille de vecteurs est libre 46

4.9.3 Comment reconnaître si un vecteur appartient à l'espace engendré par d'autres vecteurs . . . . . . . . . . 47

4.9.4 Détermination du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres 50

5.1 Valeurs Propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres . . . . . . . 52

5.3 Propriétés du polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . 53

5.4 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

[post_ads] [lock]

                                                      downloads 
[/lock] TAGS:un cour de math de s2 ,algebre de S2,semlalia s2 smpc s2 math