En algèbre abstraite, une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes formels construit à l'aide d'une indéterminée. Il s'agit ici de faire le quotient de deux polynômes formels. Le quotient de deux fonctions polynômes, définies à l'aide d'une variable et non d'une indéterminée s'appelle une fonction rationnelle.
Soit K un corps commutatif (en général 
ou 
). On démontre que l'ensemble des polynômes formels à une indéterminée, à coefficients dans 
est un anneau intègre noté ![\mathbb{K} [X]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tU2oEWg2-JGDShOo6WptGGJo1mfpRvU_EN7iSkv1OQZKDuWW_buGjLQc3NDeBknEoDI48hvTiIhDj9U70CBuNrh0Q8Yxawl94egwMjdSbl11u9WiiPX39TrVeSnwfb89laNDM4x2kHB3IieRmM=s0-d)
. On peut alors construire son corps des fractions, noté 
: Sur l'ensemble des couples éléments de ![\mathbb{K} [X] \times \mathbb{K} [X]^{*}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vM8qSnp46v2bHiL4nBzWE-slR6L9lxZcGbQ3FDq03JJUZeyrPfTZ2GwQg8ZKgrP-HtN_dh4KwRV2MNN16Jnd7nVq2T1LN3JngfWiargFfHXmJ1Xf6s9XI_AO5Qaznm6ey6QzNAad-qWj0MtARxjQ=s0-d)
, on définit
ou ). On démontre que l'ensemble des polynômes formels à une indéterminée, à coefficients dans est un anneau intègre noté . On peut alors construire son corps des fractions, noté : Sur l'ensemble des couples éléments de , on définit
- Une relation d'équivalence ~ par :(P,Q) ~ (P', Q') si et seulement si PQ' = QP'
- Une addition : (P,Q) + (P',Q') = (PQ' + QP', QQ')
- Une multiplication : (P,Q)(P', Q') = (PP',QQ')
L'ensemble des classes d'équivalence muni de l'addition et du produit induit est alors un corps commutatif appelé corps des fractions rationnelles. Tout couple (P, Q) où Q n'est pas le polynôme nul, est alors un représentant d'une fraction rationnelle. L'application qui à tout polynôme P, associe la classe de (P, 1) est un morphisme d'anneau injectif qui plonge dans .
dans .
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